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F に入っている（F は有限の共通分操作について閉じている） A が F の元、B が S の部分集合でかつ A が B の部分集合になっていれば B も F に入っている（F は上に閉じている） はじめの3つの条件からフィルターは有限交差性を持つ（フィルターの元の有限個の共通分は空にならない）ことが分かる。